Доклад по теме непрерывные дроби

by АгатаPosted on

Однако для обобщённой непрерывной дроби см. Тогда для каждой такой дроби неравенства , откуда, подставляя значение , получаем , а возводя в квадрат, получаем:. Пример 1: Рассмотрим задачу, аналогичную той, с которой встретился голландский математик Христиан Гюйгенс при построении модели солнечной системы с помощью набора зубчатых колес и которая привела его к открытию ряда важных свойств непрерывных дробей. В общем случае разложения действительного иррационального числа поступаем так же, как в примере. Таким образом, дискриминант уравнения 3 такой же, как и дискриминант уравнения 1 , откуда следует, что он от k не зависит.

ISBN Brouncker expressed, as a continued fraction, the ratio of the area of a circle to the area of the circumscribed square i. Note: On the preceding page, Wallis names Brouncker as: "Dom. Приложения цепных дробей и их обобщений к вопросам приближённого анализа главы 1 и 2. Категории : Теория чисел Цепные дроби Дроби. Пространства имён Статья Обсуждение. Просмотры Читать Править Править код История.

  • Симон Стевин как фландрский учений, изобретатель десятичных дробей.
  • Пользуясь ею, найдем, например, подходящие дроби для разложения.
  • Рассмотренные до сих пор правильные бесконечные и конечные цепные дроби являются частным случаем бесокнечных и конечных цепных дробей общего вида:.
  • Итак, разлагается в смешанную периодическую дробь 3, 3, 6, 3, 6, … или 3, 3, 6.
  • Запись дроби в одну строку числами в десятичной системе и правила действия с ними.
  • Если , то в продолжении указанного процесса получим также.
  • Но , , так что.

В других проектах Викисклад. Эта страница в последний раз была отредактирована 13 января в Текст доступен по лицензии Доклад Commons Attribution-ShareAlike ; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия. Подробнее см. Условия использования. Политика конфиденциальности Описание Википедии Отказ от ответственности Свяжитесь с нами Разработчики Заявление о куки Мобильная версия.

Доказательство: Еслиподходящие дроби ииз которых одна четная, а другая — дроби, лежат по разные стороны от так как точное значение непрерывной дроби находится между двумя соседними подходящими дробямии поэтому дроби от до любой из них меньше длины интервала, образованного этими двумя подходящими дробями, то. Теорема 2: Для любой подходящей дроби к действительному числу справедливо неравенство:. Пустьто есть существует подходящая дробь.

Если. Теорема 3: Если. Пример 1: Рассмотрим задачу, аналогичную той, с которой встретился голландский математик Христиан Гюйгенс при построении модели солнечной системы с помощью набора зубчатых колес и которая привела его к открытию ряда важных свойств непрерывных дробей.

Пусть требуется, чтобы отношение угловых скоростей двух зацепляющихся зубчатых колес II и I было равно. Так как угловые скорости колес обратно пропорциональны числам зубцов, то отношение чисел зубцов колес I и II должно быть равно. Если — несократимая дробь с большим числителем и знаменателем, например,то для точного решения задачи возникает техническая трудность изготовления колес с большим количеством зубцов. Задачу можно технически упростить при помощи колес с меньшим количеством зубцов.

При этом важно, чтобы отношение этих чисел было, по возможности, ближе к заданному отношению. Хорошего удовлетворения поставленных доклад лекарственные растения области можно добиться, если воспользоваться непрерывными дробями.

Пусть, например, поставлено требование заменить N и n меньшими числами и так, чтобы и чтобы отношение было, по возможности, ближе. Применяя аппарат цепных дробей, можем дать следующее решение этой задачи: разлагаем в непрерывную дробь и берем ее подходящую дробь с наибольшим знаменателем, не превышающим Поставленному условию удовлетворяет подходящая теме непрерывные.

При этом допущенная погрешностьто есть весьма незначительна. Для иррационального по существу возможно лишь приближенное решение задачи. Пример 2: Как мы уже определили ранее. Вычислим с точностью до 0, Для решения придется найти такую подходящую дробь разложения.

Доклад оперные театры мира71 %
Банковские учреждения более опасны чем регулярная армия эссе2 %
Темы магистерских работ по технологии машиностроения18 %
Где можно получить рецензию на рабочую программу71 %
О конт основатель социологии доклад49 %

Это значение будет равно с точностью до 0, причем с недостатком, так как — подходящая дробь нечетного порядка. Мы можем представить в виде десятичной дроби, причем имеем право взять 3 знака после запятой, так как является приближенным значением для с точностью до 0, Получаем мы округляем по избытку, так как является приближенным значением с недостатком, однако, не можем теперь сказать, будет ли 3, приближенным значением с недостатком или избытком.

Для этого надо взять подходящую дробь для с наибольшим знаменателем, не превышающим n.

Для этого, пользуясь аппаратом цепных дробей, находим подходящую дробь с наименьшим знаменателем так. Выше мы нашли оценку погрешности, возникающей при замене любого действительного числа рациональными дробями определенного типа, а именно: подходящими дробями. А сейчас рассмотрим некоторые сравнительно простые результаты, показывающие как обстоит дело с приближением действительных чисел рациональными числами, не предрешая заранее, что эти рациональные числа будут подходящими дробями.

Пусть — произвольное действительное число. Из теории десятичных дробей следует существование рационального числа такого. Например, можно поставить задачу нахождения такого рационального приближения кчтобы точность приближения была в или в раз лучшей, чем величина, обратная знаменателю. Теорема Дирихле: Пусть и — действительные числа; существует несократимая дробь доклад по теме непрерывные дроби, для которой. Рассмотрим два случая:.

Сам Дирихле дал другое доказательство, использовав в нем принцип, который носит теперь имя Дирихле: при распределении N объектов между N -1 ящиками хотя бы в одном ящике должно находиться 2 объекта.

Приведем это доказательство. Разность этих двух чисел не превосходит длину содержащего их промежутка, то.

Доклад по теме непрерывные дроби 4153

Если такими числами являются и. Пусть и. Так както. Если и 1 принадлежат одному промежутку. Пусть в таком случае. Очевидно, и здесьтак что. Найти рациональное приближение к с точностью. Решение: Разложим в цепную дробь. Искомая дробь равна. Приближение подходящей дробью дает большую точность при значительно меньшем знаменателе, чем приближение десятичной дробью. Покажем. Округляя десятичное выражение действительного до n —го знака после запятой, мы тем самым представляем приближенно дробью со знаменателемпричем погрешностьесли же подходящая дробь ктотак что при сколько-нибудь значительном q величина во много раз меньше.

Пример: Десятичное выражение числа в виде рациональной дроби со знаменателем имеет вид. Наибольшей подходящей дробью для со знаменателем является числоизвестное уже Архимеду, причем.

Итак, мы получили, что доклад по теме непрерывные дроби подходящей дробью дает большую точность, чем приближение десятичной дробью.

Теория чисел. 2. Цепные дроби

Это объясняется тем, что знаменатели подходящих дробей доклад по теме непрерывные дроби арифметической природой изображаемого числа, а знаменатели же приближающих десятичных дробей не могут быть иными, как. Доказательство: Рассмотрим случай, когда иначе теряет смысл. Поэтому, если ближе кчемто оно находится между.

Так как — число целое и положительное, то из предыдущего равенства следуетчто и требовалось доказать. Таким образом, подходящие дроби являются наилучшими приближениями, например, Архимедово число для является наилучшим приближением.

Ранее мы доказали, что для оценки погрешностивозникающей при замене любого действительного его подходящей дробьюможно пользоваться неравенством. Такими дробями являются, например, все подходящие дроби. Теорема: Для любого действительного иррационального числа существует при бесконечное множество несократимых рациональных дробей таких. Такими рациональными дробями могут быть только подходящие дроби. Доказательство: Докажем первую часть теоремы.

Рассмотрим две последующие подходящие дроби к. Допустим, что ни одна из этих дробей не удовлетворяет неравенству.

Тогда имеем:.

[TRANSLIT]

Мы пришли к противоречию, значит наше допущение неверно, а верно то, что требуется доказать. Действительно,откуда следуеттак. Достаточный признак подходящей дроби не является ее необходимым признаком; могут существовать подходящие дроби длякоторые ему не удовлетворяют.

Крайнюю возможность уменьшения c в указанном раньше смысле выражает теорема Гурвица-Бореля :. Теорема: Для любого действительного иррационального числа существует при бесконечное множество несократимых рациональных дробей таких, что выполняется неравенство 1то есть неравенство. Доказательство: Докажем первую часть. Разложим в цепную дробь. Доказательство этого утверждения будем вести методом от противного.

Предположим, что для каких-либо трех соседних подходящих дробей выполняются неравенства:.

Ваш IP-адрес заблокирован.

Так как и также расположены по разные стороны отиз 2 аналогично получаем:. Пользуясь еще тем, что из 3 и 4 получаем:. Предположение, что выполнены все три неравенства 2привело нас к противоречию, поэтому по крайней мере для одной из трех подходящих дробей,взятой в качестведолжно выполняться неравенство.

Придавая k различные значения, получим бесконечное множество дробей, удовлетворяющих неравенству. Предположим, что принеравенство 1 удовлетворяется для бесконечного множества рациональных чисел. Тогда для каждой такой дроби неравенстваоткуда, подставляя значениеполучаема возводя в квадрат, получаем:. Полученное противоречие показывает, что неравенство 1 может иметь место только для конечного числа рациональных чисел.

Теорема доказана полностью. Эта теорема была опубликована Гурвицем в году. Тот факт, что из трех соседних подходящих дробей по крайней мере одна даст приближение доклад по теме непрерывные дробибыл доказан Борелем в году.

Рассмотрим для этого уравнениегде — любое действительное иррациональное число. Подходящие дроби. Аналогично, подходящие дроби с нечётными номерами образуют убывающую последовательность, предел которой также равен х.

Таким образом,величины pn и qn представляются значениями континуант: ; Последовательности и являются возрастающими.

4818545

Приближение вещественных чисел рациональнымиЦепные дроби позволяют эффективно находить хорошие рациональные приближениявещественных чисел. А именно, если вещественное число x разложить в цепную дробь, то её подходящие дроби теме удовлетворять неравенству Отсюда, в частности, доклад подходящая дробь является наилучшим приближением для x среди всех дробей, знаменатель которых не превосходит qn. В теории музыки требуется отыскать рациональное приближение. Свойства и примеры Любоерациональное число может дроби представлено в виде конечной цепной дроби двумя способами, например: Теорема Лагранжа: Число представляется непрерывные виде бесконечной периодической цепной дроби тогда и только тогда, когда оно является иррациональным решением квадратного уравнения с целыми коэффициентами.

Например: золотое сечение Для алгебраических чисел степени большей Читайте полный текст документа Чтобы читать весь документ, зарегистрируйся.

Далее, говоря о подходящих дробях в свернутом виде , мы будем иметь в виду их форму. Теорема доказана полностью. История цепных дробей Цепные дроби были введены в году итальянским математиком Бомбелли. Содержание Введение. Применяя аппарат цепных дробей, можем дать следующее решение этой задачи: разлагаем в непрерывную дробь и берем ее подходящую дробь с наибольшим знаменателем, не превышающим

Связанные рефераты. Кроме того, равенства системы показывают, что процесс разложения в цепную дробь состоит в последовательном выделении целой части и перевертывании дробной части. Последняя точка зрения является более общей по сравнению доклад по теме непрерывные дроби первой, так как она применима к разложению в непрерывную дробь не только рационального, но и любого действительного числа. Разложение рационального числа имеет, очевидно, конечное число элементов, так как алгоритм Евклида последовательного деления a на b является конечным.

Понятно, что каждая цепная дробь представляет определенное рациональное число, то есть равна определенному рациональному числу. Но возникает вопрос, не имеются ли различные представления одного и того же рационального числа заболевания рта реферат дробью? Оказывается, что не имеются, если потребовать, чтобы. Непрерывные дроби - последовательность, каждый член которой является обычной дробью, порождает непрерывную или цепную дробь, если ее второй член прибавить к первому, а каждую дробь, начиная с третьей, прибавить к знаменателю предыдущей дроби.

Любое вещественное число может быть представлено конечной или бесконечной, периодической или непериодической цепной дробью. Для рационального числа это разложение оборвётся по достижении нулевого для некоторого n. В этом случае представляется конечной цепной дробью. Для иррационального все величины будут ненулевыми и процесс разложения можно продолжать бесконечно. В этом случае представляется бесконечной цепной дробью. Для рациональных чисел может быть использован алгоритм Евклида для быстрого получения разложения в цепную дробь.

Цепные дроби позволяют эффективно находить хорошие рациональные приближения вещественных чисел. А именно, если вещественное число разложить в цепную дробь, то её подходящие дроби будут удовлетворять неравенству. При разработке солнечного календаря необходимо найти рациональное приближение для числа дней в году, которое равно ,… Подсчитаем подходящие дроби для дробной части этого числа:. Первая дробь означает, что раз в 4 года надо добавлять лишний день; этот принцип лёг в основу юлианского календаря.

При этом ошибка в 1 день накапливается за лет.

Первая дробь, с которой познакомились люди в Египте. Замечания: 1. Единственность представления действительного иррационального числа правильной бесконечной цепной дробью. Решение задач. При этом важно, чтобы отношение этих чисел было, по возможности, ближе к заданному отношению.

Например, с помощью цепных дробей была доказана иррациональность значения дзета-функции Римана. Цепные дроби. Основы теории чисел. Анализ условно-периодических цепных дробей, ч. История арифметики. Пособие для учителей. Лекции по теории чисел. Горького, Теория ветвящихся цепных дробей и ее применение в вычислительной математике.

На протяжении многих веков на языках народов ломаным числом именовали дробь. Необходимость в дробях возникла на ранней ступени развития человечества.

Доклад по теме непрерывные дроби 672

Виды дробей.